Mairie rembourse pa le loyer qui mé du!

Bonjour,
j'ai un gros probleme je louer un appartement a la mairie j'ai pose mon preavis 31 a 45 jours avant etant donner mon cas le preavis c 1mois j'ai demenager mi decembre comme prevu le loyer lui etait virer directement j'ai appeler la mairie pour reclamer la moitié pour payer le futur logement que j'occupe actuellement puisque la proprio ma demande la moitie du mois la grande surprise ma mairie refuse de me rembourser en disant que la futur locataire qui rentrait apres moi ne le prenais pas de suite (janvier) donc elle le prenais fevrier et que de toute façon mois commencé ne peut etre rembourser svp aide moi que faire et quoi lui repondre!!