Reprise d'un salarié sans contrat de travail CDI

Bonjour,

Je suis gérant d'une SAS qui a racheté/repris une fond de commerce (BAR) le 13 Novembre 2020.
Dans la reprise, il y a un salarié en CDI.
Or, après multiple relances, l'ancien propriétaire du fond et son notaire, ne m'ont jamais remis le contrat de travail qui reliait ce salarié et la société qui m'a vendu le fond de commerce.

Le lendemain de la signature de rachat (14 NOVEMBRE 2020) , j'ai donné en main propre à mon salarié un contrat de travail à signer, qui avait pour but de lier ce salarié et ma SAS, et donc de repartir sur de bonnes bases.
Avec le COVID et la fermeture des bars, je ne me suis pas trop inquiété de la "non signature" de ce contrat de travail par ce salarié.
Suite à la réouverture des BARS Mi-JUIN, je l'ai relancé oralement début JUILLET et envoyé un email de relance fin JUILLET.
A ce jour, le contrat n'est toujours pas signé et je n'ai aucun documents nous liant.
Alors, 2 questions me viennent:

1- Je sais que le contrat de travail n'est pas obligatoire, mais comment faire pour borner les choses avec ce salarié? Quelles sont ses tâches, ses horaires, les modalités des entretiens, gestion des frais professionnels, etc...?

2- Si ce salarié persiste à ne pas vouloir signé ce contrat, y a t-il une infime chance de pouvoir men séparer pour cette raison?

Merci par avance à vous tous.

Cordialement.