Démission sur période d'essai: chômage?

Bonjour, 
Je me retrouve dans une situation complexe où je n'arrive pas à trouver une vraie réponse à ma question. 
En effet, je me suis inscrite au pole emploi le 16 décembre 2017 (pour l'indemnisation je dépends de la fonction publique) suite à une fin de CDD d'un an dans la même entreprise. 
Ayant toujours travaillé, et ce sans interruption depuis 2011, on me dit que j'ai droit au chômage. 
Entre temps je commence un nouveau CDD le 16 janvier 2018 jusqu'au 31 mars, mais je reste inscrite en tant que demandeuse d'emploi. 
Je retrouve un nouvel emploi que j'ai débuté lundi, en CDI avec une période d'essai de 1 mois. 
Or ça se passe mal... 
Et A ce jour je n'ai toujours pas signé mon contrat donc je ne me suis pas désinscrire du pôle emploi. 
Ma question est donc: si je mets fin à ma période d'essai, sachant que j'ai travaillé moins d'une semaine, ai-je droit aux indemnités chômage? 

Merci d'avance,