Changement de nom bail

Bonjour,
Voila je rencontre un petit problème avec le propriétaire de ma maison.
Il y a 3 ans 01/11/2013 j'ai emménagé dans une maison avec mon compagnon.
Nous nous somme séparé depuis aout 2016. je vis donc seule avec mes deux filles dans ce logement dont le loyer est de 730 euros par mois.
je suis au rsa sans emploi et j'ai la garde complète de mes filles étant donné le montant élevé du loyer je voudrais me trouver quelque chose de plus petit mais surtout beaucoup moins cher car les fin de mois sont plus que difficile...
Mais voila mon problème est là, j'ai appelé mon proprio est lui ai dit à l'oral que je quitté la maison ce qui me donne donc 3 mois pour trouver un autre logement seulement voila je voudrait faire un avenant pour changer de nom car mon nom n'apparait pas dans le bail c est seulement celui de mon ex or il ne veut pas car pour lui c'est une sureté . Oui mais voila j'ai cru comprendre qu'étant bénéficiaire du RSA et voulant partir pour un logement social mon préavis pouvait être diminué ce qui m'arrangerait beaucoup vu l'état de mes comptes..
J'aurai donc voulu savoir si mon proprio est en droit de me refuser ce changement de nom en sachant tout de même que depuis la séparation je me débrouille seule pour payer le loyer sans jamais de retard ...
comment puis je faire car rester 3 mois de plus va être plus que compliqué ...
En espérant ne pas avoir été trop longue et ne rien avoir oublié !
En vous remerciant de vos réponses.