Droit de garde du papa

Bonjour,
Voici mon problème, j'ai un fils de 13 mois que j'aime plus que tout.
Sa maman m'a quitté deux mois avant la naissance tout simplement parce qu'elle ne m'aimait plus.
Elle m'a laissé assister à l'accouchement et me le laisse deux jours par semaine depuis sa naissance.
Je sais bien que pour un petit, deux jours par semaine c'est déjà bien seulement elle ne me le donne qu'en semaine (elle sait que je travaille beaucoup à la maison) mais c'est pour moi très difficile à gérer.
Le plus important c'est que nous vivons dans les DOM TOM et que ma famille se trouve en métropole. Elle part avec lui là bas deux à trois fois par an mais refuse que j'en fasse de même pour le présenter à ma famille qui le réclame.
Je précise que nous n'avons jamais été mariés.
Je suis en plein dilemme, je ne sais pas si je dois faire une demande auprès du juge car j'ai peur d'obtenir moins que les deux jours par semaine dont je bénéficie actuellement. Je ne sais pas non plus si à 13 mois il m'autorisera à l'emmener voir ma famille en métropole.
Je ne veux de mal à personne, ni au petit bien sûr, ni à la maman. Je veux juste être reconnu comme le père à part entière. Je ne connais même pas sa vie, la maman ne me dit rien, je ne sais même pas si il va en crèche par exemple. Pour une raison qui m'échappe, aucun dialogue n'est possible avec elle.
Alors voilà, je voulais juste avoir vos avis pour savoir si il serait bon pour moi de passer devant le JAF.
Je précise que j'ai reconnu l'enfant bien sûr.
Merci de vos réponses.