Changement de nom sur carte d'identité/permis

Bonjour,

Je viens d'avoir mon permis B et ai donc le permis provisoire de 4 mois. Or j'ai un petit problème, j'ai vu que le nom de naissance serait affiché sur le permis. A mon auto école, les noms de mes deux parents sont affichés en tant que nom de naissance (jusque là pas de soucis). Sauf qu'y a quelques années, mon père m'avait forcé à prendre que son nom, du coup j'ai seulement son nom sur ma carte d'identité, et vu que je compte changer ma carte d'identité bientôt, je souhaiterais avoir les deux noms sur la carte d'identité et sur le permis parce qu'apparemment sur le permis c'est le nom de naissance qui est pris en compte (les deux noms des parents sont pris en compte comme nom d'usage). Du coup ma question c'est est-ce qu'on est d'accord qu'il vaut mieux que je fasse d'abord refaire ma carte d'identité PUIS que j'envoie mon permis (en sachant que j'ai un délais de quatre mois pour le faire fabriquer et que la carte d'identité c'est un peu vague le délais du coup j'hésite vis à vis des délais) ou est-ce que j'envoie les papiers comme ça et qu'y aura les deux noms vu que sur les papiers de l'auto école c'est mis que c'est mon nom de naissance ?

Merci vraiment de votre aide, désolée si c'est un peu flou.