Cdd contractuel chu

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Bonjour,

Je me permet de solliciter vos compétences.
Je suis infirmier dans un CHU. J'ai été employé en CDD contractuel de 2 mois prolongé par un avenant de 1 mois. Sans interruption de travail, un autre CDD de contractuel de 3 mois prolongé par un avenant de 2 mois se terminant au 30 Avril 2021 a été reconduit. Depuis le 1er Mai 2021, je travaille et reçoit mes fiches de payes mais sans avoir signé de contrat ou avenant.
Pouvez vous me dire si dans la fonction publique hospitalière ce procédé est légal? Est-ce qu'un CHU peut antidaté un contrat ou un avenant? Quelle pourrait être la durée maximale de cet avenant à partir du 1er Mai 2021?
Lorsque je demande à la DRH de manière téléphonique quand devrait s'arrêter mon contrat, il me demande de me rapprocher de me rapprocher de personnes au dessus d'elles sur le plan hiérarchique qui sont injoignables de manière téléphonique?
Dans ces conditions puis je démissionner sans pénalités et puis je prétendre au chômage?

Par avance Merci