Lettre de fin de location "non acceptée" par la régie

Bonjour,

Je change de location d'appartement et j'ai envoyé en milieu de mois via le site internet la poste un courrier recommandé à ma régie signifiant ma résiliation de bail de location un mois plus tard (j'habite Paris).

J'ai simplement signé de mon prénom + nom en bas à droite du document, pas avec une signature manuscrite.

Plus d'une semaine plus tard, je reçois un mail de ma régie qui me dit "la lettre n'est pas signée, je ne peux pas l'accepter, renvoyez en une autre, la date de résiliation de bail sera reportée à 1 mois après réception de ce nouveau courrier recommandé"...

Je lui ai répondu (par mail) lui disant que la signature n'avait pas besoin d'être manuscrite et que je confirmais la date de fin de bail à la date prévue. Mais plus de nouvelles depuis.

Que faire ?

• Si je renvoie une lettre maintenant elle arrivera dans 1 semaine, ce qui fait que j'aurai donné 2 semaines de location "gratuitement" à ces escrocs reconnus (ils ont les pires reviews de la région Parisienne sur Google... et je ne suis pas le premier à avoir un problème similaire).
• Si j'attends et que je verse en début de mois uniquement les 2 prochaines semaines au "prorata", je sens bien le coup de me faire sucrer ma caution 'parce qu'ils n'ont pas reçu de lettre signée et qu'il manque 2 semaines pour le loyer'.
• Dois-je aller voir un avocat ? Les appeler ? Que leur dire ? La loi semble de mon côté mais une "signature" a plusieurs sens (électronique, nom, identité, manuscrite) et s'ils veulent faire durer les choses, ce n'est pas dans mon avantage.

Merci pour vos conseils.