Congé parental, rupture de contrat conventionnelle, nouveau job

Bonjour,

J'ai besoin de renseignements...

Je suis salariée d'une entreprise depuis un peu plus de 12 ans maintenant, mais suite à des problèmes de santé je me suis retrouvée en accident du travail pendant un grand moment et j'ai fait une reconversion professionnelle.

Le temps d'entreprendre mes démarches pour ma formation, je suis tombée enceinte, j'ai réalisé tout de même ma formation complète.

Je suis actuellement en congé parental jusqu'au 31 août, mais à ce jour j'ai trouvé un emploi, en rapport avec ma reconversion professionnelle, à compter du 28 août.

J'aimerais demander une rupture de contrat conventionnelle à mon employeur actuel car l'autre emploi est pour le moment un remplacement de 3 mois ce qui ne me donnerais pas droit à des indemnités chômage si j'ai une ou deux semaines de battements entre ce remplacement et un autre poste.

Ma question est : Est ce que mon congé parental va se terminer automatiquement si je demande une rupture de contrat conventionnelle?
Quelles démarches faire? d'abord la CAF? mon employeur actuel?

Merci d'avances pour vos réponses.

Bien cordialement

Emilie