Aide au logement dernier mois

Bonjour,

Je vais quitter mon logement prochainement et je me pose quelques questions sur l'aide au logement du dernier mois.

Déjà je précise qu'après ce logement je vais être hébergée, donc plus d'aide au logement pour moi.

Mon besoin est de quitter mon logement le 15 du mois.
Mon loyer est de 600€.
Mon aide au logement est de 353€.

Déjà ce qu'il me semble savoir mais dont je voudrais confirmation :

- Si je pars le 15, vous me confirmez que je n'ai pas droit à l'aide au logement pour le dernier mois ?
- Si je pars le 31, vous me confirmez que j'ai le droit à l'aide au logement pour ce dernier mois ?

Et la question pour laquelle je sèche (valable si vous confirmez mes deux questions du dessus) :

- Si je donne mon préavis pour un départ le 31, mais que je rend les clefs le 15 avec l'état des lieux ce jour là, je suis redevable du loyer jusqu'au 31 quand même. Du coup je touche quand même l'aide au logement pour ce mois ?

- Si la réponse est oui, je peux "empêcher" le propriétaire de relouer avant la fin du préavis ?
Le but n'est pas d'empêcher le propriétaire d'avoir un locataire, mais pour lui que ce soit un nouveau locataire qui paye du 15 au 31 ou moi ça revient au même, pour moi ça fait plus de 50€ de différence (et dans ma situation ce n'est pas rien).

Vous l'aurez compris, le truc c'est que si je pars le 15, je dois payer sans aide au logement la moitié du mois, donc 300€, alors que si je pars le 31 je paye le mois entier mais avec l'aide au logement donc seulement 247€. Du coup ça me revient moins cher de garder le logement jusqu'au 31 même en partant réellement 2 semaines avant.

Merci d'avance de vos réponses.

J'espère que mes questions sont claires.